练习题1

已知函数 $y=y(x)$ 由方程 $x^2+xy+y^3=3$ 确定，则 $y''(1)=$ $-\frac{31}{32}$ 。

解：当 $x=1$ 时， $1+y+y^3=3$ 得， $y=1$ ;

对方程求导得：

$2x+y+xy'+3x^2y'=0$ ;

$3+y'(1)+3y'(1)=0$ ;

$y'(1)=-\frac{3}{4}$ ;

再次求导得：

$2+y'+y'+xy''+6xy'+3x^2y''=0$ ;

$y''=-\frac{31}{32}$ ;

注意 $y^3$ 求导

设函数 $y=y(x)$ 由参数方程
$\begin{cases} x=2e^t+t+1,\\ y=4(t-1)e^t+t^2,\\ \end{cases}$ 则 ${|\frac{d^2f(x)}{dx^2}|}_{t=0}=$ $\frac{2}{3}$ 。

解： $\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}=\frac{4e^t+4(t-1)e^t+2t}{2e^t+1}=\frac{2t(2e^t+1)}{2e^t+1}=2t$

则 $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{y'(t)}{x'(t)})}{dt}*\frac{1}{x'(t)}=\frac{2}{2e^t+1}$ ；

当 $t=0$ 时， $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{3}$ ;

参数方程求导法

曲线 $\tan(x+y+\frac{\pi}{4})=e^y$ ,在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $y=-2x$ 。

$K_切=\frac{dy}{dx}$ ;

对方程求导数得： $\sec^2(x+y+\frac{\pi}{4})(1+y')=e^yy'$

将 $(0,0)$ 点带入得： $2(1+y'(0))=y'(0)$

$y'(0)=-2$

$K_切=-2$

曲线为： $y=-2x$

$(\tan(x))'=\sec^2(x)$

利用导数证明：当 $x>1$ 时， $\frac{\ln(1+x)}{\ln(x)}>\frac{x}{1+x}$

证： $\ln(1+x)(1+x)>x\ln(1+x)$

令： $f(x)=x\ln(x)$

则： $f'(x)=\ln(x)+1$

当 $x>1$ 时， $f(x)>0$ ,则 $f(x)$ 在区间 $(1,+\infty)$ 上单调递增

所以： $\ln(1+x)(1+x)>x\ln(1+x)$

即证明： $\frac{\ln(1+x)}{\ln(x)}>\frac{x}{1+x}$ ；

注意变换形式

求不定积分： $\int{\sec^4xdx}=$ $\frac{1}{3}\tan^3x+\tan{x}+C$ 。

$\int{\sec^4xdx}$ = $\int{\sec^2*\sec^2dx}$ = $\int{\sec^2xd\tan{x}}$ = $\int{(1+\tan^2x)d\tan{x}}$

$=\frac{1}{3}\tan^3x+\tan{x}+C$

$\int{\sec^2xdx}=\tan{x}+C$

$\sec^2x=1+\tan^2x$

求不定积分： $\int{\frac{\arctan{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}(1+x)}dx}=$ $(\arctan{\sqrt{x}})^2+C$ 。

原式 $=2\int{\frac{\arctan{\sqrt{x}}}{(1+x)}d\sqrt{x}}=2\int{\frac{\arctan{\sqrt{x}}}{(1+(\sqrt{x})^2)}d\sqrt{x}}$

$=2\int{\arctan{\sqrt{x}}d{\arctan{\sqrt{x}}}}$

$=(\arctan{\sqrt{x}})^2+C$

$\int{\frac{1}{1+x^2}}dx=\arctan{x}+C$

求不定积分： $\int{\frac{2-x}{\sqrt{3+2x-x^2}}}=$ $\sqrt{3+2x-x^2}+\arcsin{\frac{x-1}{2}}+C$ 。

原式 $=\int{\frac{(1-x)+1}{\sqrt{3+2x-x^2}}dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{(2-2x)}{\sqrt{3+2x-x^2}}dx}+\int{\frac{dx}{\sqrt{3+2x-x^2}}}$

$=\frac{1}{2}\int{\frac{d(3+2x-x^2)}{\sqrt{3+2x-x^2}}}+\int{\frac{d(x-1)}{\sqrt{4-(x-1)^2}}}$

$=\sqrt{3+2x-x^2}+\arcsin{\frac{x-1}{2}}+C$

$\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}dx=\arcsin{\frac{x}{a}}+C$

计算积分： $\int{\frac{dx}{\sqrt{x(4-x)}}}=$ 。

方法1：原式 $=\int{\frac{dx}{\sqrt{4-(x-2)^2}}}=\int{\frac{d(x-2)}{\sqrt{4-(x-2)^2}}}=\arcsin{\frac{x-2}{2}}+C$

方法2：原式 $=2\int{\frac{d\sqrt{x}}{\sqrt{4-x}}}=2\int{\frac{d\sqrt{x}}{\sqrt{4-(\sqrt{x})^2}}}=2\arcsin{\frac{\sqrt{x}}{2}}+C$

$\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}dx=\arcsin{\frac{x}{a}}+C$

计算： $\int{\frac{\ln x}{(1+x)^2}dx}=$ $\int{\frac{\ln x}{1-x}+\frac{\ln{|1-x|}}{\ln{|x|}}+C}$ 。

原式 $=\int{\ln{x}d{\frac{1}{1-x}}}=\frac{\ln x}{1-x}-\int{\frac{dx}{x(1-x)}}=\frac{\ln x}{1-x}-\int{(\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x})dx}$

$=\frac{\ln x}{1-x}+\ln{|1-x|}-\ln{|x|}+C$

$=\int{\frac{\ln x}{1-x}+\frac{\ln{|1-x|}}{\ln{|x|}}+C}$

$\int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}+C$

计算： $\int{\frac{\ln{sin x}}{sin^2x}dx}=$ $-\cot{x}*\ln{sin x}-\cot{x}-x+C$ 。

原式 $=-\int{\ln{sin{x}}d{\cot{x}}}=-\cot{x}*\ln{sin{x}}+\int{\cot{x}d{\ln{sin{x}}}}$

$-\cot{x}*\ln{sin{x}}+\int{\cot{x}\frac{\cos{x}}{\sin{x}}dx}$

$-\cot{x}*\ln{sin{x}}+\int{\cot^2x}dx$

$-\cot{x}*\ln{sin{x}}+\int{(\csc^2x-1)dx}$ ;

$-\cot{x}*\ln{sin{x}}-\cot{x}-x+C$

$\cot{x}=\frac{1}{\tan{x}}$

$\csc^2x=1+\cot^2x$

$\int{\csc^2xdx}=-\cot{x}+C$

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